Question

已知AB和CD是曲线（t为参数）的两条相交于点P（2，2）的弦，若AB⊥CD，且|PA|·|PB|=|PC|·
|PD|，
（Ⅰ）将曲线（t为参数）化为普通方程，并说明它表示什么曲线；
（Ⅱ）试求直线AB的方程。

Answer 1

解：（Ⅰ）由y=4t得y²=16t²，而x=4t²，
∴y²=4x，它表示抛物线；
（Ⅱ）设直线AB和CD的倾斜角分别为α，β，
则直线AB和CD的参数方程分别为，
把①代入y²=4x中，
得t²sin²α+（4sinα-4cosα）t-4=0，③
依题意知sinα≠0且方程③的判别式Δ=16（sinα-cosα）²+16sin²α＞0，
∴方程③有两个不相等的实数解t₁，t₂，
则
由t的几何意义知|PA|=|t₁|，|PB|=|t₂|，
∴|PA|·|PB|=|t₁t₂|=，
同理|PC|·|PD|=，
由|PA|·|PB|=|PC|·|PD|知，即sin²α=sin²β，
∵0≤α，β＜π，
∴α=π-β，
∵AB⊥CD，
∴β=α+90°或α=β+90°，
∴直线AB的倾斜角
∴k_AB=1或k_AB=-1，
故直线AB的方程为y=x或x+y-4=0。