Question

【题目】已知函数，.

（1）若，在上恒成立，求的取值范围；

（2）设数列，为数列的前项和，求证：；

（3）当时，设函数的图象与函数的图象交于点，，过线段的中点作轴的垂线分别交，于点，问是否存在点，使在处的切线与在处的切线平行？若存在，求出的横坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）详见解析；（3）不存在.

【解析】

（1）当时，，即，设，利用导数得到函数的单调性与最值，即可求得求解；

（2）由（1）得在上恒成立，令得，则，即可作出证明；

（3），设点的坐标是，，得到在点处的切线斜率为，在点处的切线斜率为，根据，即，整理得，设，得到函数，，再令，，利用导数得到的单调性和最值，即可求解．

（1）当时，，即，

设，则.

若，显然不满足题意；

若，则时，恒成立，

所以在上为减函数，有在上恒成立；

若，则时，，时，

所以在上单调递增．

∵，∴时，，不满足题意．

综上，时在上恒成立．

（2）由（1）得在上恒成立，

令有，，

则，

∴ ，

即.

（3），设点的坐标是，，且，

则点的中点坐标为，

在点处的切线斜率为，

在点处的切线斜率为，

假设在点处的切线与在点处的切线平行，则，即.

所以

，

所以.

设，则，.　①

令，，则.

因为，所以，所以在上单调递增．

故，则.

这与①矛盾，假设不成立．

故不存在点，使在点处的切线与在点处的切线平行．