Question

在数列{an}中，a1=1，an+1=1-

1

4an

，bn=

2

2an-1

，其中n∈N*．
（1）求证：数列{b_n}是等差数列，并求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）设c_n=n•2ⁿ⁺¹•a_n，求数列{c_n}的前n项和．

Answer 1

分析：（1）要证数列{b_n}是等差数列，只要是这个数列的后一项与前一项做差，证明差是一个定值，利用数列{a_n}的递推式和两个数列的关系式，根据首项和公差写出通项，从而得到数列{a_n}的通项公式a_n．
（2）根据前面做出的数列的通项，写出一个新数列c_n=n•2ⁿ⁺¹•a_n，要求数列的和，观察数列的通项的结构特点，用错位相减来求和，这是经常考的一个求和方法．

解答：解：（1）证明：∵bn-1-bn=

2

2an+1-1

-

2

2an-1

=

2

2(1- 1 4an )-1

-

2

2an-1

=

4an

2an-1

-

2

2an-1

=2(n∈N*)
∴数列{b_n}是等差数列
∵a1=1，∴b1=

2

2a1-1

=2
∴b_n=2+（n-1）×2=2n
由bn=

2

2an-1

得，2an-1=

2

bn

=

1

n

(n∈N*)
∴an=

n+1

2n

（2）由（1）的结论得an=

n+1

2n

，∴cn=n•2n+1•an=(n+1)•2n
∴S_n=2•2¹+3•2²+4•2³++（n+1）•2ⁿ①
2S_n=2•2²+3•2³+4•2⁴++n•2ⁿ+（n+1）•2ⁿ⁺¹，②
①-②，得-S_n=2•2¹+2²+2³+…+2ⁿ-（n+1）•2ⁿ⁺¹2
=2+2ⁿ⁺¹-2-（n+1）•2ⁿ⁺¹=-n•2ⁿ⁺¹，
∴S_n=n•2ⁿ⁺¹

点评：有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起．