Question

如图，函数f（x）的图象为单位圆上的两段弧，求不等式f（x）-f（-x）＞x的解集．

Answer 1

分析：f（x）=

x

|x|

1-x2

=

1-x2 ，(0＜x≤1) - 1-x2 ，(-1≤x＜0)

，由此进行分类讨论，能求出不等式f（x）-f（-x）＞x的解集．

解答：解：f（x）=

x

|x|

1-x2

=

1-x2 ，(0＜x≤1) - 1-x2 ，(-1≤x＜0)

①当0＜x≤1时，f（x）=

1-x2

，
f（-x）=-

1-(-x)2

=-

1-x2

．
由f（x）-f（-x）＞x．
则2

1-x2

＞x＞0.4-4x²＞x²，x²＜

4

5

．
∵0＜x≤1．∴0＜x＜

2 5

5

（6分）
②当-1≤x＜0时，f（x）=-

1-x2

，
f（-x）=

1-(-x)2

=

1-x2

，
f（x）-f（-x）＞x，
即-2

1-x2

＞x，即2

1-x2

＜-x，即4-4x²＜x²，即x²＞

4

5

．
∵-1≤x＜0，∴-1≤x＜-

2 5

5

．
由①②知原不等式的解集为{x|-1≤x＜-

2 5

5

，或0＜x＜

2 5

5

}．（12分）

点评：本题考查不等式的解法，综合性强，难度大，有一定的探索性．解题时要认真审题，仔细解答，注意分段函数的合理运用．