题目内容
24、已知α1，α2，…αn∈（0，π），n是大于1的正整数，求证：|sin（α1+α2+…+αn）|＜sinα1+sinα2+…+sinαn．
分析：我们用数学归纳法进行证明，先证明不等式|sin（α1+α2+…+αn）|＜sinα1+sinα2+…+sinαn当n=2时成立，再假设不等式|sin（α1+α2+…+αn）|＜sinα1+sinα2+…+sinαn当n=k（k≥1）时成立，进而证明当n=k+1时，不等式|sin（α1+α2+…+αn）|＜sinα1+sinα2+…+sinαn也成立，最后得证不等式．
解答：证明：下面用数学归纳法证明
（1）n=2时，|sin（α1+α2）|-|sinα1cosα2+cosα1sinα2|≤sinα1|cosα2|+|cosα1|•|sinα2|＜sinα1+sinα2，
所以n=2时成立．
（2）假设n=k（k≥2）时成立，即
|sin（α1+α2+Λ+αk）|＜sinα1+sinα2+Λ+sinαk
当n=k+1时，|sin（α1+α2+Λ+αk+1）|=
=|sinαk+1cos（α1+Λαk）+cosαk+1sin（α1+Λαk）|
≤sinαk+1|cos（α1+Λ+αk）|+|cosαk+1|•|sin（α1+Λαk）|
＜sinαk+1+|sin（α1+Λαk）|
＜sinα1+sinα2+Λ+sinαk+1
∴n=k+1时也成立．
由（1）（2）得，原式成立．
（1）n=2时，|sin（α1+α2）|-|sinα1cosα2+cosα1sinα2|≤sinα1|cosα2|+|cosα1|•|sinα2|＜sinα1+sinα2，
所以n=2时成立．
（2）假设n=k（k≥2）时成立，即
|sin（α1+α2+Λ+αk）|＜sinα1+sinα2+Λ+sinαk
当n=k+1时，|sin（α1+α2+Λ+αk+1）|=
=|sinαk+1cos（α1+Λαk）+cosαk+1sin（α1+Λαk）|
≤sinαk+1|cos（α1+Λ+αk）|+|cosαk+1|•|sin（α1+Λαk）|
＜sinαk+1+|sin（α1+Λαk）|
＜sinα1+sinα2+Λ+sinαk+1
∴n=k+1时也成立．
由（1）（2）得，原式成立．
点评：数学归纳法常常用来证明一个与自然数集N相关的性质，其步骤为：设P（n）是关于自然数n的命题，若1）（奠基） P（n）在n=1时成立（由于本题要求n为大于1的整数，故本题第一步为n=2时）；2）（归纳） 在P（k）（k为任意自然数）成立的假设下可以推出P（k+1）成立，则P（n）对一切自然数n都成立．
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