Question

已知A={x|x²-2（a+1）x+a（a+2）≤0}，B={x|

2x-1

x-2

≤0}
（Ι）  若a=1，求A∩B；
（ΙΙ） 若A∩B=∅，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ι）把a=1代入集合A中的不等式中确定出一元二次不等式，将不等式左边分解因式后，根据两数相乘积为负数，两因式异号转化为两个不等式组，求出不等式组的解集即可得到原不等式的解集，确定出集合A，集合B中的不等式根据两数相除商为负数，得到被除式与除式异号，转化为两个不等式组，求出不等式组的解集得到原不等式的解集，确定出集合B，找出两集合的公共部分，即可求出两集合的交集；
（ΙΙ）把集合A中的不等式分解因式后，根据a小于a+2，表示出不等式的解集，确定出集合A，由第一问求出的集合B，根据两集合的交集为空集，列出关于a的不等式，求出不等式的解集，即可得到a的取值范围．

解答：解：（Ι）若a=1，集合A中的不等式为：x²-4x+3≤0，
因式分解得：（x-1）（x-3）≤0，
可化为：

x-1≤0 x-3≥0

或

x-1≥0 x-3≤0

，
解得：1≤x≤3，
∴集合A={x|1≤x≤3}，
由集合B中的不等式

2x-1

x-2

≤0，
可化为：（2x-1）（x-2）≤0，且x-2≠0，
变形为：

2x-1≥0 x-2＜0

或

2x-1≤0 x-2＞0

，
解得：

1

2

≤x＜2，
∴集合B={x|

1

2

≤x＜2}，
则A∩B={x|1＜x＜2}；
（ΙΙ）集合A中的不等式x²-2（a+1）x+a（a+2）≤0，
分解因式得：（x-a）（x-a-2）≤0，
∵a＜a+2，∴a≤x≤a+2，
由第一问得到集合B={x|

1

2

≤x＜2}，
又A∩B=∅，
∴a+2＜

1

2

或a≥2，
则a的取值范围为a＜-

3

2

或a≥2．

点评：此题考查了交集及其运算，涉及的知识有：一元二次不等式的解法，其他不等式的解法，以及集合中参数的取值问题，利用了转化的思想，是高考中常考的基本题型．