Question

【题目】已知函数.

（1）若是的极小值点，求实数的取值范围；

（2）若，证明：当时，.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析

【解析】

（1）求得的定义域，并求导，利用分类讨论当时，分析单调性显然成立；当时，令，得或，再利用分类讨论两根的大小，分别分析单调性讨论是否成立，得到当时成立，当时与当时，都不成立，最后综上得参数的取值范围；

（2）由（1）可知当时，得的单调性，从而表示；将所证不等式等价转化为不等式对任意的都恒成立，构建，利用导数求得值域，最后由不等式的性质即可得证原不等式成立.

（1）的定义域为，

①当时，，则，

令，得，

当时，，所以在上单调递减；

当时，，所以在上单调递增；

此时是的极小值点，符合题意；

②当时，令，得或.

（i）当时，则，

所以当时，，所以在上单调递增；

当时，，所以在上单调递减；

当时，，所以在上单调递增，

此时是的极小值点，符合题意；

（ii）当时，，

当时，，所以在上单调递增，不是的极值点.

（iii）当时，则，

所以当时，，所以在上单调递增；当时，，所以在上单调递减；

当时，，所以在上单调递增，

此时是的极大值点，不符合题意.

综合①②，得.

（2）证明：由（1）可知当时，在上单调递增；

又，所以当时，；当时，；

所以当或时，都有.

要证不等式对任意的都恒成立，

即证不等式对任意的都恒成立，

设，则.

设，且在上单调递减；

所以方程的唯一解为，

所以当时，，所以在上单调递增；

当时，，所以在上单调递减；

所以当时，.

当时，对任意都恒成立.

所以当时，不等式对任意都恒成立.