Question

【题目】已知函数，，.

（1）求证:；

（2）若在上恒成立，求的最大值与的最小值.

Answer 1

【答案】（1）答案见解析；（2）最大值为,的最小值为1.

【解析】

（1）构建函数，通过导数研究函数在单调性并计算最值，可得结果.

（2）构造函数，通过分类讨论的方法，，和，利用导数判断函数的单调性，并计算最值比较，可得结果.

（1）由

所以.

又，,

所以在区间上单调递减.

从而,.

（2）当时,

“”等价于“”

“”等价于“”.

令,则,

当时,

对任意恒成立.

当时,

因为对任意,,

所以在区间上单调递减.

从而对任意恒成立.

当时,

存在唯一的，使得.

与在区间上的情况如下:

		0
	↗		↘

因为在区间上是增函数,

所以.

进一步,“对任意恒成立”

当且仅当,即,

综上所述：

当且仅当时,对任意恒成立;

当且仅当时,对任意恒成立.

所以，若对任意恒成立,

则最大值为,的最小值为1.