Question

已知VC是△ABC所在平面的一条斜线，点N是V在平面ABC上的射影，且在△ABC的高CD上.AB =a，VC与AB之间的距离为h，点M∈VC.

（Ⅰ）证明∠MDC是二面角M－AB－C的平面角；

（Ⅱ）当∠MDC =∠CVN时，证明VC⊥平面AMB；

（Ⅲ）若∠MDC =∠CVN =θ（），求四面体MABC的体积.

 

Answer 1

答案：
解析：

（Ⅰ）证明： 由已知， CD⊥AB，VN⊥平面ABC，N∈CD，平面ABC， ∴VN⊥AB. ∴AB⊥平面VNC. 又 V、M、N、D都在VNC所在的平面内， 所以，DM与VN必相交，且AB⊥DM，AB⊥CD， ∴∠MDC为二面角M－AB－C的平面角. （Ⅱ）证明： 由已知，∠MDC =∠CVN， 在△VNC与△DMC中， ∠NCV =∠MCD， 又∵∠VNC =90º， ∴ ∠DMC =∠VNC =90º， 故有DM⊥VC，又AB⊥VC， ∴ VC⊥平面AMB. （Ⅲ）解： 由（Ⅰ）、（Ⅱ）， MD⊥AB，MD⊥VC，且D∈AB，M∈VC， ∴ MD = h. 又 ∵ ∠MDC  =θ. 在Rt△MDC中， CM = V四面体MABC  =V三棱锥C－ABM .