Question

【题目】已知圆过定点，圆心在抛物线上，、为圆与轴的交点.

（1）求圆半径的最小值；

（2）当圆心在抛物线上运动时，是否为一定值？请证明你的结论；

（3）当圆心在抛物线上运动时，记，，求的最大值，并求此时圆的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2），证明见解析；（3），

【解析】

（1）设半径为，根据抛物线方程设出圆心坐标，然后根据圆心和定点写出半径的表达式，计算的最小值即可；

（2）根据（1）中的表示，写出圆的方程，令计算出的横坐标，计算是否为定值即可证明；

（3）计算出的值，然后利用已求的值对进行化简，再根据基本不等式确定最大值，从而求出圆心坐标和半径确定出圆的方程.

（1）设圆心坐标为，半径为，所以，取等号时，所以；

（2）因为圆心坐标为，半径，所以圆的方程为：，

令，所以，所以，所以，所以为定值；

（3）由（2）可知：取，，

所以，，

所以，

所以的最大值为，

取等号时，所以，所以圆心坐标为，半径，

所以圆的方程为：.