Question

如图，圆锥的高PO=4，底面半径OB=2，D为PO的中点，E为母线PB的中点，F为底面圆周上一点，满足EF⊥DE．
（1）求异面直线EF与BD所成角的余弦值；
（2）求二面角O-DF-E的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）建立如图所示的空间直角坐标系，利用?=0，又=2，即可解得点F的坐标．利用异面直线EF与BD的方向向量的夹角即可得出所成角（锐角）的余弦值；
（2）利用两个平面的法向量的夹角即可得出二面角．
解答：解：（1）建立如图所示的空间直角坐标系，
则O（0，0，0），B（0，2，0），D（0，0，2），E（0，1，2），P（0，0，4），F（x，y，0）．
∴，，．
∵，∴=y-1=0，解得y=1．
又∵=2，，取x＞0，把y=1代入解得x=，∴，∴．
==．
∴异面直线EF与BD所成角（锐角）的余弦值为；
（2）设平面DEF的法向量为，
则得，令x₁=2，则，y₁=0，
∴．
设平面ODF的法向量为=（x₂，y₂，z₂），则，得，
令x₂=1，则，z₂=0．∴．
∴===．
∴sinθ==．
∴二面角O-DF-E的正弦值为．
点评：熟练掌握通过建立如图所示的空间直角坐标系、利用异面直线的方向向量的夹角求得异面直线所成角、利用两个平面的法向量的夹角得出二面角、向量垂直与数量积的关系是解题的关键．