Question

已知函数.
（1）求函数在上的最小值；
（2）若函数有两个不同的极值点、且，求实数的取值范围．

Answer 1

（1）详见解析；（2）实数的取值范围是.

试题分析：（1）先求出函数在上的单调区间，并求出相应的极小值点，然后就极小值点是否在区间内进行分类讨论，分析函数在区间上的单调性，从而求出最小值；（2）将函数在定义域上有两个极值点等价转化为导函数方程在定义域上有两个不等的实根，借助参数分离法先求出当函数有两个极值点时，的取值范围，然后求出当时的取值，利用图象的特点即可以得到当时，参数的取值范围.
试题解析：（1），所以，令，解得，列表如下：

	减	极小值	增

①当时，即当时，则函数在区间上单调递减，在上单调递增，
故函数在处取得极小值，亦即最小值，即；
②当时，函数在区间上单调递增，此时函数在处取得最小值，
即，
综上所述；
（2），所以，
函数有两个极值点、，
等价于方程有两个不等的正实根，
令，则，令，解得，列表如下：

	减	极小值	增

故函数在处取得极小值，亦即最小值，即，
由图象知，当时，方程有两个不相等的正实根、，
考查当时，的取值，
由题意知，两式相减得，所以，
故，所以，，所以，
此时，
故当的取值范围是时，.