Question

已知f（x）=x³+ax²-a²x+2．
（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点M（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若a＞0，求函数f（x）的极值．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的极值

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求导函数，可得切线斜率，求出切点坐标，可得曲线y=f（x）在点M（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）求导函数，根据a＞0，确定函数的单调性，即可求函数f（x）的极值．

解答： 解：（Ⅰ）∵a=1，∴f（x）=x³+x²-x+2
∴f′（x）=3x²+2x-1                                            （1分）
∴k=f′（1）=4，
又f（1）=3，∴切点坐标为（1，3），
∴所求切线方程为y-3=4（x-1），
即4x-y-1=0．（5分）
（Ⅱ）f′（x）=3x²+2ax-a²=（x+a）（3x-a）
由f′（x）=0得x=-a或x=

a

3

                                     （7分）
①当a＞0时，由f′（x）＜0，得-a＜x＜

a

3

．
②当a＜0时，由f′（x）＞0，得x＜-a或x＞

a

3

此时f（x）的单调递减区间为（-a，

a

3

），
单调递增区间为（-∞，-a）和（

a

3

，+∞）．（11分）
故所求函数f（x）的极大值为f（-a）=a³+2，f（x）的极小值为f（

a

3

）=2-

5a3

27

．                 （13分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性，考查函数的极值，属于中档题．