Question

（1）设，求证:

（2）已知正数x、y满足2x+y=1，求的最小值及对应的x、y值．

（3）已知实数满足， 的最大值及对应的x、y、z值．

 

Answer 1

（1）见解析；

（2），时有最小值为。

（3）当时，取最大值，所以．

【解析】

试题分析：（1）法一，分析法：证明使a3+b3＞a2b+ab2成立的充分条件成立，

法二，综合法：由条件a≠b推出：a2-2ab+b2＞0，通过变形，应用不等式的性质可证出结论．（2）利用基本不等式求最值必须满足一正，二定，三相等三个条件，并且和为定值时，积有最大值，积为定值时，和有最小值（3）柯西不等式是一个非常重要的不等式，灵活巧妙的应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。可在证明不等式，解三角形相关问题，求函数最值，解方程等问题的方面得到应用，，注意变形

试题解析：证明：法一：（分析法）

要证a2+b2＞a2b+ab2成立，

只需证（a+b）（a2-ab+b2）＞ab（a+b）成立

又因为a＞0，

只需证a2-ab+b2＞ab成立，

而依题设a≠b，则（a-b）2＞0显然成立，

由此命题得证．

法二：（综合法）∵a≠b，

∴a-b≠0

∴a2-2ab+b2＞0

∴a2-ab+b2＞ab（*）

而a，b均为正数，

∴a+b＞0，

∴（a+b）（a2-ab+b2）＞ab（a+b）

∴a3+b3＞a2b+ab2．

（2）因为正数x、y满足2x+y=1，

当且仅当时取等号。 由 得所以当，时有最小值为。

（3）解：由柯西不等式：

．因为所以，即．因为的最大值是7,所以，得，

当时，取最大值，所以．

考点：作差法是比较两个代数式大小的与基本不等式及柯西不等式