Question

设P为椭圆

x2

25

+

y2

16

=1上任意一点，F₁，F₂为左、右焦点．
（1）若∠F₁PF₂=60°，求|

PF1

|-|

PF2

|；
（2）椭圆上是否存在点P，使

PF1

-

PF2

=0若存在，求出P点的坐标，若不存在，试说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用余弦定理及双曲线的定义，解方程求|PF₁|•|PF₂|的值．
（2）假设椭圆上存在一点P（x₀，y₀），使∠F₁PF₂=90°，利用点在椭圆上其坐标满足椭圆的方程及向量垂直的条件，计算出点P的坐标，即可判断这样的P点是否存在．

解答：解：（1）解：∵|PF₁|+|PF₂|=10，
∴|PF₁|²+|PF₂|²=100-2|PF₁|•|PF₂|，…（2分）
在△PF₁F₂中，cos 60°=

|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2

2|PF1|•|PF2|

，…（4分）
∴|PF₁|•|PF₂|=100-2|PF₁|•|PF₂|-36，
∴|PF₁|•|PF₂|=

64

3

．…（6分）
（2）设点P（x₀，y₀），则

x 2 0

25

+

y 2 0

16

=1．①
易知F₁（-3，0），F₂（3，0），故

PF 1

=（-3-x₀，-y₀），

PF 2

=（-3-x₀，-y₀），
∵

PF 1

•

PF 2

=0，∴x₀-9+y₀=0，②
由①②组成方程组，此方程组无解，故这样的点P不存在．…（12分）
注：（2）使用定义法结合勾股定理也可说明

点评：本题主要考查椭圆标准方程，考查是否存在性问题，一般来说，是否存在性问题，通常假设存在，从而转化为封闭型命题求解．