Question

16．已知圆C过点 A（1，4），B（3，2），且圆心在直线x+y-3=0上．
（I）求圆C的方程；
（II）若点 P（x，y）在圆C上，求x+y的最大值．

Answer 1

分析 （I）由题意和圆的知识可得圆心还在AB的垂直平分线上，求平分线方程联立方程组可得圆心坐标，可得圆的方程；
（II）三角换元可得x=1+2cosθ，y=2+2sinθ，由三角函数的最值可得．

解答 解：（I）∵圆C过点 A（1，4），B（3，2），
∴圆心在AB的垂直平分线上，
可得kAB=$\frac{4-2}{1-3}$=-1，故平分线的斜率为1，
又AB的中点为（2，3），
∴垂直平分线方程为y-3=x-2，
又∵圆心在直线x+y-3=0上，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{x+y-3=0}\\{y-3=x-2}\end{array}\right.$可得圆心C（1，2），
∴圆的半径r=|AC|=$\sqrt{（1-1）^{2}+（4-2）^{2}}$=2
∴所求圆C的方程为：（x-1）²+（y-2）²=4
（II）由圆C的方程为：（x-1）²+（y-2）²=4可得
x-1=2cosθ，y-2=2sinθ，∴x=1+2cosθ，y=2+2sinθ，
∴x+y=1+2cosθ+2+2sinθ=3+2$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$）
由三角函数可得x+y的最大值为$3+2\sqrt{2}$

点评 本题考查直线和圆的位置关系，涉及圆的方程的求解和三角换元法求式子的最值，属中档题．