题目内容

若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）在约束条件 $数学公式$ 下的最大值是4，则直线ax+by-1=0截圆x²+y²=1所得的弦长的范围是________．

$\text{[math]}$
分析：本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件 $\text{[math]}$ ，画出满足约束条件的可行域，再根据目标函数z=abx+y（a＞0，b＞0）的最大值为4，求出a，b的关系式，再利用直线与圆的位置关系求得的弦长的范围．
解答：

解：满足约束条件 $\text{[math]}$ 的区域是一个三角形，如图
3个顶点是（0，0），（1，0），（ 2，2），
由图易得目标函数在（2，2）取最大值4，
此时2a+2b=4，即a+b=2，
在条件：a+b=2，a＞0，b＞0下，由不等式知识可得：
a²+b²的取值范围是：2≤a²+b²＜4
设直线ax+by-1=0截圆x²+y²=1所得的弦长为l，弦心距为d
则： $\text{[math]}$ l²+d²=r²=1，其中 $\text{[math]}$ ∈（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]
∴ $\text{[math]}$ l²=1-d²∈[ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）∴l²∈[2，3）
可得弦长l的范围是的范围是 $\text{[math]}$
故答案为： $\text{[math]}$ ．
点评：用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．