Question

20．若P、Q、R是边长为1的正△ABC边BC上的四等分点，则$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AP}$+$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AQ}$+$\overrightarrow{AQ}$•$\overrightarrow{AR}$+$\overrightarrow{AR}$•$\overrightarrow{AC}$=$\frac{13}{4}$．

Answer 1

分析 由题意建立平面直角坐标系，求出所用点的坐标，得到向量的坐标，由数量积的坐标运算得答案．

解答 解：建立如图所示平面直角坐标系，

∵P、Q、R是边长为1的正△ABC边BC上的四等分点，
∴Q（0，0），R（$\frac{1}{4}，0$），C（$\frac{1}{2}，0$），P（$-\frac{1}{4}，0$），B（$-\frac{1}{2}，0$），A（0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AP}$+$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AQ}$+$\overrightarrow{AQ}$•$\overrightarrow{AR}$+$\overrightarrow{AR}$•$\overrightarrow{AC}$=2（$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AP}$+$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AQ}$）
=2[（$-\frac{1}{2}，-\frac{\sqrt{3}}{2}$）（$-\frac{1}{4}，-\frac{\sqrt{3}}{2}$）+（$-\frac{1}{4}，-\frac{\sqrt{3}}{2}$）（0，$-\frac{\sqrt{3}}{2}$）]
=2（$\frac{1}{8}+\frac{3}{4}+\frac{3}{4}$）=$\frac{13}{4}$．
故答案为：$\frac{13}{4}$．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，建立平面直角坐标系使该题起到事半功倍的效果，是中档题．