Question

10．如图所示，已知定圆F₁：x²+y²+10x+24=0，定圆F₂：（x-5）²+y²=16，动圆M与定圆F₁，F₂都外切，求动圆圆心M的轨迹方程．

Answer 1

分析 根据两圆外切的充要条件转化为双曲线的定义求解．

解答 解：圆F₁：x²+y²+10x+24=0可化为（x+5）²+y²=1，
圆F₂：（x-5）²+y²=4²，
∴F₁（-5，0），半径r₁=1；F₂（5，0），半径r₂=4．
设动圆M的半径为R，则|MF₁|=R+1，|MF₂|=R+4，
∴|MF₂|-|MF₁|=3＜|F₁F₂|=10．
∴M点的轨迹是以F₁、F₂为焦点的双曲线左支，且a=$\frac{3}{2}$，c=5，
∴b²=25-$\frac{9}{4}=\frac{91}{4}$．
∴动圆圆心M的轨迹方程为$\frac{4{x}^{2}}{9}-\frac{4{y}^{2}}{91}$=1（x≤-$\frac{3}{2}$）．

点评 本题考查轨迹方程的求法，该题将相切问题转化为动点到两定点的距离问题，应联想能运用圆锥曲线的定义求解，是中档题．