在直角坐标系xOy中.曲线C1的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$.以坐标原点为极点.以x轴的正半轴为极轴.建立极坐标系.曲线C2的极坐标方程为ρsin=2$\sqrt{2}$．(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程,(2)设点P在C1上.点Q� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

16．在直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=2$\sqrt{2}$．
（1）写出C₁的普通方程和C₂的直角坐标方程；
（2）设点P在C₁上，点Q在C₂上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．

分析（1）运用两边平方和同角的平方关系，即可得到C₁的普通方程，运用x=ρcosθ，y=ρsinθ，以及两角和的正弦公式，化简可得C₂的直角坐标方程；
（2）由题意可得当直线x+y-4=0的平行线与椭圆相切时，|PQ|取得最值．设与直线x+y-4=0平行的直线方程为x+y+t=0，代入椭圆方程，运用判别式为0，求得t，再由平行线的距离公式，可得|PQ|的最小值，解方程可得P的直角坐标．
另外：设P（$\sqrt{3}$cosα，sinα），由点到直线的距离公式，结合辅助角公式和正弦函数的值域，即可得到所求最小值和P的坐标．

解答解：（1）曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α为参数），
移项后两边平方可得$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=cos²α+sin²α=1，
即有椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1；
曲线C₂的极坐标方程为ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=2$\sqrt{2}$，
即有ρ（$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinθ+$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosθ）=2$\sqrt{2}$，
由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得x+y-4=0，
即有C₂的直角坐标方程为直线x+y-4=0；
（2）由题意可得当直线x+y-4=0的平行线与椭圆相切时，
|PQ|取得最值．
设与直线x+y-4=0平行的直线方程为x+y+t=0，
联立$\left\{\begin{array}{l}{x+y+t=0}\\{{x}^{2}+3{y}^{2}=3}\end{array}\right.$可得4x²+6tx+3t²-3=0，
由直线与椭圆相切，可得△=36t²-16（3t²-3）=0，
解得t=±2，
显然t=-2时，|PQ|取得最小值，
即有|PQ|=$\frac{|-4-（-2）|}{\sqrt{1+1}}$=$\sqrt{2}$，
此时4x²-12x+9=0，解得x=$\frac{3}{2}$，
即为P（$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$）．
另解：设P（$\sqrt{3}$cosα，sinα），
由P到直线的距离为d=$\frac{|\sqrt{3}cosα+sinα-4|}{\sqrt{2}}$
=$\frac{|2sin（α+\frac{π}{3}）-4|}{\sqrt{2}}$，
当sin（α+$\frac{π}{3}$）=1时，|PQ|的最小值为$\sqrt{2}$，
此时可取α=$\frac{π}{6}$，即有P（$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$）．