Question

已知函数f（x）=tan（2x+

π

4

），
（1）求f（x）的定义域与最小正周期；
（2）设α∈（0，

π

4

），若f（

α

2

）=2cos2α，求α的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用正切函数的定义域求出函数的定义域，利用周期公式求出最小正周期；
（Ⅱ）通过f(

α

2

)=2cos2α，化简表达式，结合α∈（0，

π

4

），求出α的大小．

解答：解：（Ⅰ）由2x+

π

4

≠

π

2

+kπ，k∈Z．所以x≠

π

8

+

kπ

2

，k∈Z．所以f（x）的定义域为：x∈R|x≠

π

8

+

kπ

2

，k∈Zf（x）的最小正周期为：

π

2

．
（Ⅱ）由f(

α

2

)=2cos2α得tan（α+

π

4

）=2cos2α，

sin(α+ π 4 )

cos(α+ π 4 )

=2(cos2α-sin2α)
整理得

sinα+cosα

cosα-sinα

=2(cos α-sinα)(cosα+sinα) 因为α∈（0，

π

4

），所以sinα+cosα≠0 因此（cosα-sinα）²=

1

2

即sin2α=

1

2

因为α∈（0，

π

4

），
所以α=

π

12

点评：本题考查两角和的正弦函数、余弦函数、正切函数公式，同角三角函数的基本关系式，二倍角公式等基本知识，考查基本运算能力．