Question

已知双曲线与椭圆

x2

27

+

y2

36

=1有相同的焦点，且双曲线与椭圆的一个交点的纵坐标为4，求双曲线的方程，并求其渐近线方程．

Answer 1

分析：椭圆

x2

27

+

y2

36

=1，故有焦点为F₁（0，-3），F₂（0，3），由此设出双曲线的方程，再由双曲线与椭圆的一个交点的纵坐标为4，求出此点的横坐标，将此点的坐标代入方程，求出参数即得双曲线方程，再由其性质求渐近线方程即可

解答：解：因为椭圆

x2

27

+

y2

36

=1的焦点为F₁（0，-3），F₂（0，3），
故可设双曲线方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，且c=3，a2+b2=9．
由题设可知双曲线与椭圆的一个交点的纵坐标为4，将y=4代入椭圆方程得双曲线与椭圆的交点为(

15

，4)，(-

15

，4)，因为点(

15

，4)[或(-

15

，4)]在双曲线上，所以有

16

a2

-

15

b2

=1．

解方程组 a2+b2=9 16 a2 - 15 b2 =1. 得 a2=4 b2=5. 故所求双曲线的方程为 y2 4 - x2 5 =1. 又a2=4，b2=5，则a=2，b= 5 ， 所以双曲线的渐近线方程为y=± a b x=± 2 5 5 x.

点评：本题考查圆锥曲线的共同特征，解题的关键是两者共同的特征设出双曲线的标准方程，解题时要善于抓住问题的关键点．