Question

已知双曲线C与椭圆x²+5y²=5有共同的焦点，且一条渐近线方程为y=

3

x
（1）求双曲线C的方程；
（2）设双曲线C的焦点分别为F₁、F₂，过焦点F₁作实轴的垂线与双曲线C相交于A、B两点，求△ABF₂的面积．

Answer 1

分析：（1）由椭圆x²+5y²=5化为

x2

5

+y2=1，可得c=

5-1

=2．设双曲线为

x2

a2

-

y2

b2

=1，则渐近线为y=±

b

a

x，可得

b a = 3 a2+b2=4

解得即可；
（2）F₁（-2，0），F₂（2，0）．可设A（-2，y₁），B（-2，y₂），（y₁＞y₂），代入双曲线方程(-2)2-

y 2 1

3

=1，解得y₁，同理解得y₂，可得|AB|=y₁-y₂．
又|F₁F₂|=2c=4．利用S△ABF2=

1

2

|AB|•|F1F2|即可得出．

解答：解：（1）由椭圆x²+5y²=5化为

x2

5

+y2=1，∴c=

5-1

=2，其焦点为（±2，0）．
设双曲线为

x2

a2

-

y2

b2

=1，则渐近线为y=±

b

a

x，
∴

b a = 3 a2+b2=4

解得a²=1，b²=3，
∴双曲线为x2-

y2

3

=1．
（2）∵F₁（-2，0），F₂（2，0）．
∴可设A（-2，y₁），B（-2，y₂），（y₁＞y₂），代入双曲线方程(-2)2-

y 2 1

3

=1，解得y₁=3，同理解得y₂=-3，∴|AB|=y₁-y₂=6．
又|F₁F₂|=2c=4．
∴S△ABF2=

1

2

|AB|•|F1F2|=

1

2

×6×4=12．

点评：本题考查了椭圆与双曲线的标准方程及其性质、直线与双曲线相交问题转化为方程联立、三角形的面积计算等基础知识与基本技能方法，属于中档题．