Question

15．若对任意的实数m，n，有m³+n³≥log₃[$\sqrt{（{m}^{2}+1）}$-m]+log₃[$\sqrt{（{n}^{2}+1）}$-n]成立，则有（　　）

• A． m+n≥0
• B． m+n≤0
• C． m-n≤0
• D． m-n≥0

Answer 1

分析 构造函数f（x）=${x}^{3}-lo{g}_{3}（\sqrt{{x}^{2}+1}-x）$，判断函数为增函数且为奇函数，结合已知得答案．

解答 解：设f（x）=${x}^{3}-lo{g}_{3}（\sqrt{{x}^{2}+1}-x）$，
则由其导函数大于0可得f（x）为增函数，
又f（x）+f（-x）=$lo{g}_{3}（\sqrt{{x}^{2}+1}-x）（\sqrt{{x}^{2}+1}+x）$=log₃1=0，
∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）为奇函数，
由已知式得f（m）≥-f（n）=f（-n），
∴m≥-n，
∴m+n≥0，
故选：A．

点评 本题考查了对数的运算性质，考查了函数的性质，关键是构造函数f（x）=${x}^{3}-lo{g}_{3}（\sqrt{{x}^{2}+1}-x）$，是中档题．