Question

3．在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC，D，E为棱BC，A₁C₁的中点

（1）证明：平面ADC₁⊥平面BCC₁B₁；
（2）证明：C₁D∥平面ABE．

Answer 1

分析 （1）要证平面ADC₁⊥平面BCC₁B₁，只需证平面ADC₁内的直线AD⊥平面BCC₁B₁，即证AD垂直平面BCC₁B₁内的两条相交直线CC₁、BC即可；
（2）要证C₁D∥平面ABE，只需证C₁D平行平面ABE内的直线即可．

解答 证明：（1）∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥平面ABC，
而AD?平面ABC，∴CC₁⊥AD；
又AB=AC，D为BC中点，∴AD⊥BC，
又BC∩CC₁=C，BC?平面BCC₁B₁，CC₁?平面BCC₁B₁，
∴AD⊥平面BCC₁B₁，
∵AD?平面ADC₁，
∴平面ADC₁⊥平面BCC₁B₁．
（2）取AB的中点F，连接EF，DF，则
∵D为BC中点，
∴DF∥AC，DF=$\frac{1}{2}$AC，
∵EC₁∥AC，EC₁=$\frac{1}{2}$AC，
∴EC₁∥DF，EC₁=DF，
∴四边形EFDC₁是平行四边形，
∴C₁D∥EF，
而C₁D?平面ABE，EF?平面ABE，
∴C₁D∥平面ABE．

点评 本题考查了空间中的平面与平面垂直以及直线与平面平行的问题，应熟练地掌握空间中的平行与垂直关系，来解答此类题目．