Question

3．已知数列{a_n}的各项均为正整数，其前n项和为S_n，若a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}\frac{a_n}{2}，{a_n}是偶数\\ 3{a_n}+1，{a_n}是奇数\end{array}$且a₁＜6，S₃=29，则S₂₀₁₅=4725．

Answer 1

分析 由a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}\frac{a_n}{2}，{a_n}是偶数\\ 3{a_n}+1，{a_n}是奇数\end{array}$且a₁＜6，S₃=29．经过验证只有a₁=5，a₂=16，a₃=8，满足S₃=29．可得：a₄=4，a₅=2，a₆=1，a₇=4．n≥4时，a_n+3=a_n．可得S₂₀₁₅=29+（a₄+a₅+a₆）×670+a₄+a₅．

解答 解：∵a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}\frac{a_n}{2}，{a_n}是偶数\\ 3{a_n}+1，{a_n}是奇数\end{array}$且a₁＜6，S₃=29，
若a₁=2，则a₂=1，a₃=4，不满足S₃=29，舍去．经过验证只有a₁=5，a₂=16，a₃=8，满足S₃=29．
∴a₄=$\frac{8}{2}$=4，a₅=2，a₆=1，a₇=4．
∴n≥4时，a_n+3=a_n．
∴S₂₀₁₅=29+（a₄+a₅+a₆）×670+a₄+a₅
=29+7×670+6
=4725．
故答案为：4725．

点评 本题考查了数列的递推关系、周期性、数列求和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．