Question

18．设函数$f（x）=cos（2x+\frac{π}{3}）+{sin^2}x$，a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，已知$cosB=\frac{1}{3}，f（\frac{C}{2}）=-\frac{1}{4}$，其中角C为锐角，则sinA=（　　）

• A． $\frac{{2\sqrt{2}+\sqrt{3}}}{6}$
• B． $\frac{{2\sqrt{2}-\sqrt{3}}}{6}$
• C． $\frac{{\sqrt{2}+2\sqrt{3}}}{6}$
• D． $\frac{{\sqrt{2}-2\sqrt{3}}}{6}$

Answer 1

分析 首先化简函数f（x），根据f（$\frac{C}{2}$）=-$\frac{1}{4}$求出角C的正弦值，进而求出角C的大小；然后求出角B的正弦、余弦，最后根据两角和的正弦公式，求出sinA的值即可．

解答 解：f（x）=cos（2x+$\frac{π}{3}$）+sin²x=$\frac{1}{2}$cos2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1-cos2x}{2}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x，
∴f（$\frac{C}{2}$）=$\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinC=-$\frac{1}{4}$，
∴sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
∵C为锐角，C=$\frac{π}{3}$，
因为在△ABC 中，cosB=$\frac{1}{3}$，所以sinB=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
所以sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=$\frac{2\sqrt{2}+\sqrt{3}}{6}$．
故选：A．

点评 本题主要考查了三角函数的最值以及最小正周期的求法，属于基础题．