Question

已知等比数列的公比为，是的前项和．
（1）若，，求的值；
（2）若，，有无最值？并说明理由；
（3）设，若首项和都是正整数，满足不等式：，且对于任意正整数有成立，问：这样的数列有几个？

Answer 1

（1）;（2）有最大值为，最小值为;（3）个． 

试题分析：（1）根据等比数列前项和公式，可见要对分类讨论，当时，，，，从而不难求出;当时，，，，即可利用根据定义求出;（2）根据题意可求出数列的前项和，要求出的最值，可见要分和两种情况进行讨论，当时利用单调性即可求出的最值情况，当时，由于将随着的奇偶性正负相间，故又要再次以的奇偶数进行讨论，再利用各自的单调性即可求出的最值; （3）首先由含有的绝对值不等式可求出的范围，再用表示出，由单调性不难求出的最小值，即，故并分别代入进行，依据就可求出的范围，最后结合是正整数，从而确定出的个数．
试题解析：（1）当时，，，                     2分
当时，，，               4分
所以（可以写成；
（2）若，，则，
当时，，所以随的增大而增大，
而，此时有最小值为1，但无最大值．         6分
当时，
①时，，所以随的增大而增大，
即是偶数时，，即：；       8分
②时，，
即：，所以随的增大而减小，
即是奇数时，，即：；
由①②得：，有最大值为，最小值为．        10分
（3）由得，所以，                  11分
，随着的增大而增大，故，
即：，，得．                   13分
当时，
，
又，得共有个；                       15分
当时，
 
又，得共有个；                       17分
由此得：共有个．                               18分