Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，AB=5，BC=4，点D是AB的中点，
（1）求证：平面ACC₁⊥平面BCC₁；
（2）求证：AC₁∥平面CDB₁．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用面面垂直的判定定理即可证明；
（2）利用三角形的中位线定理和线面平行的判定定理即可证明．
解答：证明：（1）∵在△ABC中，AC=3，AB=5，BC=4，∴AC²+BC²=AB²，∴∠ACB=90°．
∴AC⊥BC．
又在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥平面ABC，
∴AC⊥CC₁．
且BC∩CC₁=C，
∴AC⊥平面BCC₁．
而AC?平面ACC₁，
∴平面ACC₁⊥平面BCC₁．
（2）设CB₁与C₁B的交点为E，连接DE，
∵D是AB的中点，E是BC₁的中点，
∴DE∥AC₁，
∵DE?平面CDB₁，AC₁?平面CDB₁，
∴AC₁∥平面CDB₁．
点评：熟练掌握面面垂直、线面平行的判定定理和性质定理及三角形的中位线定理是解题的关键．