Question

【题目】若方程有实数根，则称为函数的一个不动点.已知函数（为自然对数的底数）.

（1）当时是否存在不动点？并证明你的结论；

（2）若，求证有唯一不动点.

Answer 1

【答案】（1）不存在不动点；证明见解析（2）证明见解析

【解析】

（1）将问题转化为求方程的根，构造函数利用导数判断函数的单调性以及最小值，即可容易证明；

（2）根据不动点的定义，结合（1）中的思路，即可容易求证.

（1）当时，不存在不动点.

证明：由可得：，

令，，

则，

∵，∴

当时，，在上单调递减，

当时，，在上单调递增，

所以.所以方程无实数根

故不存在不动点.

（2）当时，，，

则，

再令，∴

当时，，在上单调递减，

当时，，在上单调递增，

∴

故当时，，在上单调递减，

当时，，在上单调递增，

所以.

所以有唯一实数根，

故有唯一不动点.