Question

已知椭圆C：=1（a＞b＞0），过点离心率，
（1）求椭圆方程；
（2）若过点（1，0）的直线l与椭圆C交于A、B两点，且以AB为直径的圆过原点，试求直线l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意可得，解出即得a，b；
（2）设直线方程为x-1=my，代入椭圆消掉x可得y的二次方程，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由以AB为直径的圆过原点知，，即x₁x₂+y₁y₂=0，代入韦达定理即得m的方程，解出可得直线方程；
解答：解：（1）由题意得，，解得，
所以椭圆方程为：．
（2）设直线方程为x-1=my，
代入椭圆方程消掉x得，（m²+4）y²+2my-3=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则，，
所以x₁x₂=（my₁+1）（my₂+1）=m²y₁y₂+m（y₁+y₂）+1=，
由以AB为直径的圆过原点知，，即x₁x₂+y₁y₂=0，
所以+=0，解得m=，
所以直线方程为：x-1=y，化简得，y=2x-2 或 y=-2x+2．
点评：本题考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系，考查学生分析问题解决问题的能力．