Question

用反证法证明：若函数f(x)在区间[a，b]上是增函数，那么方程f(x)＝0在区间[a，b]上至多只有一个实根．

Answer 1

答案：
解析：

证明：假设方程f(x)＝0在区间[a，b]上至少有两个实根，设α、β为其中的两个实根． 　　因为α≠β，不妨设α＜β，又因为函数f(x)在[a，b]上是增函数，所以f(α)＜f(β)． 　　这与假设f(α)＝0＝f(β)矛盾， 　　所以方程f(x)＝0在区间[a，b]上至多只有一个实根． 　　思路分析：函数f(x)在区间[a，b]上是增函数，就是表明对区间[a，b]上任意x1，x2，若x1＜x2，则f(x1)＜f(x2)，所以如果反设方程f(x)＝0在区间[a，b]上至少有两个根α，β(α＜β)，则有f(α)＝f(β)＝0这与假设矛盾．