题目内容
已知向量
．（Ⅰ）向量
是否共线？请说明理由．（Ⅱ）求函数
的最大值．
【答案】分析：（Ⅰ）要求
是否共线，只要根据向量共线的坐标表示代入检验即可
（Ⅱ）先求出
及
，代入整理可得f（x）=-2sin2x+sinx，根据二次函数的性质及sinx∈（0，1]可求函数f（x）的最大值
解答：解：（Ⅰ）
共线．…（1分）
∵cosx•（1-cos2x）-sinx•sin2x=cosx•2sin2x-sinx•2sinx•cosx=0，
∴
共线．…（5分）
（Ⅱ）
=
=
=
=2|sinx|，…（7分）
∵x∈（0，π），∴sinx＞0，，∴|
|=2sinx．…（8分）
∵
=（cosx+sin2x，sinx+1-cos2x）
∴
=（cosx+sin2x，sinx+1-cos2x）•（0，1）=sinx+1-cos2x=sinx+2sin2x…（10分）
∴f（x）=2sinx-sinx-2sin2x=-2sin2x+sinx=
∵x∈（0，π）
∴
时函数f（x）的最大值
点评：本题主要考查了向量共线的坐标表示的应用，向量数量积的运算性质与三角函数的基本公式的综合应用，二次函数在闭区间上的最值的求解等知识的综合应用．
是否共线，只要根据向量共线的坐标表示代入检验即可（Ⅱ）先求出
及，代入整理可得f（x）=-2sin2x+sinx，根据二次函数的性质及sinx∈（0，1]可求函数f（x）的最大值解答：解：（Ⅰ）
共线．…（1分）∵cosx•（1-cos2x）-sinx•sin2x=cosx•2sin2x-sinx•2sinx•cosx=0，
∴
共线．…（5分）（Ⅱ）
====2|sinx|，…（7分）∵x∈（0，π），∴sinx＞0，，∴|
|=2sinx．…（8分）∵
=（cosx+sin2x，sinx+1-cos2x）∴
=（cosx+sin2x，sinx+1-cos2x）•（0，1）=sinx+1-cos2x=sinx+2sin2x…（10分）∴f（x）=2sinx-sinx-2sin2x=-2sin2x+sinx=
∵x∈（0，π）
∴
时函数f（x）的最大值点评：本题主要考查了向量共线的坐标表示的应用，向量数量积的运算性质与三角函数的基本公式的综合应用，二次函数在闭区间上的最值的求解等知识的综合应用．
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