Question

【题目】已知椭圆与直线交于两点，不与轴垂直，圆.

（1）若点在椭圆上，点在圆上，求的最大值；

（2）若过线段的中点且垂直于的直线过点，求直线的斜率的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（2）.

【解析】

(1)由圆的几何性质得到，由两点间距离公式得到，再根据点在椭圆上二元化一元，结合二次函数的性质得到结果；（2）联立直线和椭圆方程，根据韦达定理得到点的坐标为，直线的斜率为，再由两直线的垂直关系得到代入判别式得到参数的范围.

（1）依题意，圆，即圆，圆心为.

所以.

设，则.（*）

而，所以.

代入（*）中，可得，.

所以，即，所以.

（2）依题意，设直线.

由消去整理得.

因为直线与椭圆交于不同的两点，

所以，整理得.①

设，，则，.

设点的坐标为，则，所以，

所以点的坐标为.

所以直线的斜率为.

又直线和直线垂直，则，所以.

将代入①式，可得.

解得或.

所以直线的斜率的取值范围为.