Question

如图1，在直角梯形中，，，且．现以为一边向形外作正方形，然后沿边将正方形翻折，使平面与平面垂直，为的中点，如图2．

（1）求证：∥平面；

（2）求证：平面；

（3）求点到平面的距离.

 

 

Answer 1

（1）见解析（2）见解析（3）

【解析】

试题分析：（1）取EC的中点为N，则MN平行且等于CD的一半，由AB平行且等于CD的一半及平行公理知，NM平行且等于AB，所以ABNM是平行四边形，所以AM平行BN，所以AM平行面BEC；（2）由面ADEF⊥面ADCB及DE⊥AD，面面垂直性质定理知，DE⊥面ADCB，所以AD⊥BC，通过计算及勾股定理可知DB⊥BC，由线面垂直的判定定理可得BC垂直面DBE；（3）先算出三棱锥E-DBC的体积及三角形EBC的面积，再利用三棱锥E-DCB的体积与三棱锥D-EBC的体积相等即可求出点D到面BEC的距离.

试题解析：（1）证明：取中点，连结．

在△中，分别为的中点，

所以∥，且．

由已知∥，，

所以∥，且． 3分

所以四边形为平行四边形．

所以∥． 4分

又因为平面，且平面，

所以∥平面． 4分

（2）证明：在正方形中，．

又因为平面平面，且平面平面，

所以平面．

所以． 6分

在直角梯形中，，，可得．

在△中，， ．

所以．

所以平面． 8分

（3）由（2）知，

所以 又因为平面

又= 10分

所以，D到面BEC的距离为 12分

考点:空间线面平行的判定与性质，空间面面垂直性质定理，线面垂直的判定与性质，三棱锥的体积公式，转化思想，空间想象能力，推理论证能力