Question

13．（1）已知集合A={k|方程x²+（2k-1）x+k²=0至少有一个不大于1的实根}，求集合B={k|k∈A且k∈Z}的所有子集；
（2）设集合P={x|$\frac{5{x}^{2}+10x+2}{3{x}^{2}+13x+4}$≥1}，Q={x|x²-2x-a⁴+1≥0}，且P⊆Q，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）集合A的限制条件，可结合函数f（x）=x²+（2k-1）x+k²的图象即可得出集合A=（-2，$\frac{1}{4}$]，而由条件k∈A，且k∈Z即可求出集合B的所有元素，从而得出集合B，然后找出其所有子集即可；
（2）先通过解不等式可得到P={x|$x＜-4，或-\frac{1}{2}≤x＜-\frac{1}{3}，或x≥2$}，可求函数g（x）=x²-2x-a⁴+1的对称轴为x=1，并求出△=4a⁴，从而可分a=0和a≠0进行求a的范围：a≠0时，便有$g（-\frac{1}{3}）≥0$，而可看出a=0时满足条件，这样即可得出实数a的取值范围．

解答 解：（1）方程x²+（2k-1）x+k²=0至少有一个不大于1的实根，设f（x）=x²+（2k-1）x+k²，则：
$\left\{\begin{array}{l}{△=1-4k≥0}\\{-\frac{2k-1}{2}≤1}\\{f（1）=2k+{k}^{2}≥0}\end{array}\right.$，或f（1）=2k+k²＜0；
解得$-2≤k≤\frac{1}{4}$；
∴A=$（-2，\frac{1}{4}]$；
∵k∈A，且k∈Z；
∴k=-2，-1，0；
∴B={-2，-1，0}；
∴集合B的所有子集为：∅，{-1}，{0}，{-2}，{-1，0}，{-2，0}，{-2，-1}，{-2，-1，0}；
（2）由$\frac{5{x}^{2}+10x+2}{3{x}^{2}+13x+4}≥1$得$\frac{2{x}^{2}-3x-2}{3{x}^{2}+13x+4}≥0$；
解得x＜-4，或$-\frac{1}{2}≤x＜-\frac{1}{3}$，或x≥2；
∵P⊆Q，函数g（x）=x²-2x-a⁴+1的对称轴为x=1，且△=4-4（-a⁴+1）=4a⁴≥0；
∴①当a≠0时，△＞0；
∴需满足$g（-\frac{1}{3}）=\frac{16}{9}-{a}^{4}≥0$，且g（2）=-a⁴+1≥0；
解得，-1≤a≤1；
②a=0时，△=0，Q=R，满足P⊆Q；
∴综上得实数a的取值范围为：[-1，1]．

点评 考查描述法表示集合，元素与集合的关系，子集的概念，以及解分式不等式，及一元二次不等式，二次函数图象和x轴交点的情况和判别式△取值的关系，要熟悉二次函数的图象，并结合二次函数的图象解题的能力．