题目内容

（2012•天津）已知△ABC为等边三角形，AB=2．设点P，Q满足
AP
=λ
AB
，
AQ
=(1-λ)
AC
，λ∈R．若
BQ
•
CP
=-
3
2
，则λ=（　　）
分析：根据向量加法的三角形法则求出
BQ
=
BA
+
AQ
=
BA
+(1-λ)
AC
，
CP
=
CA
+
AP
=
CA
+λ
AB
进而根据数量级的定义求出
BQ
•
CP
再根据
BQ
•
CP
=-
3
2
即可求出λ．
解答：解：∵
AP
=λ
AB
，
AQ
=(1-λ)
AC
，λ∈R
∴
BQ
=
BA
+
AQ
=
BA
+(1-λ)
AC
，
CP
=
CA
+
AP
=
CA
+λ
AB

∵△ABC为等边三角形，AB=2
∴
BQ
•
CP
=
BA
•
CA
+λ
BA
•
AB
+（1-λ）
AC
•
CA
+λ(1-λ)
AC
•
AB

=2×2×cos60°+λ×2×2×cos180°+（1-λ）×2×2×cos180°+λ（1-λ）×2×2×cos60°
=2-4λ+4λ-4+2λ-2λ2，
=-2λ2+2λ-2
∵
BQ
•
CP
=-
3
2

∴4λ2-4λ+1=0
∴（2λ-1）2=0
∴λ=
1
2

故选A
点评：本题主要考查了平面向量数量级的计算，属常考题，较难．解题的关键是根据向量加法的三角形法则求出
BQ
，
CP
然后再结合数量级的定义和条件△ABC为等边三角形，AB=2，
BQ
•
CP
=-
3
2
即可求解！
练习册系列答案
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（2012•天津）已知集合A={x∈R||x+2|＜3}，集合B={x∈R|（x-m）（x-2）＜0}，且A∩B=（-1，n）．则m=
-1
-1
，n=
1
1
．
（2012•天津）已知函数f（x）=sin（2x+
π
3
）+sin（2x-
π
3
）+2cos2x-1，x∈R．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）在区间[-
π
4
，
π
4
]上的最大值和最小值．
（2012•天津）已知双曲线C1：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)与双曲线C2：
x2
4
-
y2
16
=1有相同的渐近线，且C1的右焦点为F（
5
，0）．则a=
1
1
，b=
2
2
．
（2012•天津）已知函数y=
|x2-1|x-1
的图象与函数y=kx-2的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是
（0，1）∪（1，4）
（0，1）∪（1，4）
．
（2012•天津）已知函数f（x）=x-ln（x+a）的最小值为0，其中a＞0．
（1）求a的值；
（2）若对任意的x∈[0，+∞），有f（x）≤kx2成立，求实数k的最小值；
（3）证明：
n
i=1
2
2i-1
-ln(2n+1)＜2（n∈N*）．

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