Question

已知点P（3，4）是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上的一点，两个焦点为F₁，F₂，若PF₁⊥PF₂，试求椭圆的方程．

Answer 1

分析：令F₁（c，0），F₂（-c，0），则b²=a²-c²．由题意知c=5，所以椭圆方程为

x2

a2

+

y2

a2-25

=1，把点P（3，4）在椭圆上，解得a²=45或a²=5又a＞c，a²=5舍去，故所求椭圆方程．

解答：解：令F₁（c，0），F₂（-c，0），则b²=a²-c²．_∵PF1⊥PF2，∴kPF1•kPF2=-1，
即

4

3+c

•

4

3-c

=-1，解得c=5，
∴椭圆方程为

x2

a2

+

y2

a2-25

=1，
∵点P（3，4）在椭圆上，∴

9

a2

+

16

a2-25

=1，
解得a²=45或a²=5
又a＞c，a²=5舍去，
故所求椭圆方程为

x2

45

+

y2

20

=1．

点评：本题考查椭圆的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．