Question

已知某几何体的三视图如下图所示，其中俯视图为正三角形，设D为AA₁的中点．
（Ⅰ）作出该几何体的直观图并求其体积；
（Ⅱ）求证：平面BB₁C₁C⊥平面BDC₁；
（Ⅲ）BC边上是否存在点P，使AP∥平面BDC₁？若不存在，说明理由；若存在，证明你的结论．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意可知该几何体为直三棱柱，利用直观图的数据求出S_△ABC和V即可．
（Ⅱ）连接B₁C交BC₁于E点，则E为B₁C、BC₁的中点，连接DE．证明△ABD≌△A₁C₁D，证明DE⊥BC₁．DE⊥B₁C，，B₁C∩BC₁=E．证明DE⊥平面BB₁C₁C．然后证明平面BB₁C₁C⊥平面BDC₁．
（Ⅲ）取BC的中点P，连接AP，证明AP∥DE即可证明AP∥平面BDC₁．

解答：解：（Ⅰ）由题意可知该几何体为直三棱柱，且它的直观图如图所示．由图知底面正三角形边长为2，棱柱高为3，
∴S_△ABC=

3

，∴V=3

3

（4分）
（Ⅱ）证明：连接B₁C交BC₁于E点，则E为B₁C、BC₁的中点，连接DE．
∵AD=A₁D，AB=A₁C₁，∠BAD=∠DA₁C₁=90°，
∴△ABD≌△A₁C₁D．∴BD=C₁D．∴DE⊥BC₁．
同理，DE⊥B₁C，
又∵B₁C∩BC₁=E．∴DE⊥平面BB₁C₁C．
又∵DE?平面BDC₁，∴平面BB₁C₁C⊥平面BDC₁．（8分）
（Ⅲ）解：取BC的中点P，连接AP，则AP∥平面BDC₁，
证明：连接PE，则PE∥AD，且PE=AD，∴四边形APED为平行四边形．
∴AP∥DE．又DE?平面BDC₁，AP?平面BDC₁，
∴AP∥平面BDC₁．（12分）

点评：本题考查三视图与直观图的关系，几何体的体积与面积的求法，直线与平面垂直与平行，平面与平面垂直的证明方法，考查空间想象能力．