Question

（2012•陕西）已知椭圆C1：

x2

4

+y2=1，椭圆C₂以C₁的长轴为短轴，且与C₁有相同的离心率．
（1）求椭圆C₂的方程；
（2）设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C₁和C₂上，

OB

=2

OA

，求直线AB的方程．

Answer 1

分析：（1）求出椭圆C1：

x2

4

+y2=1的长轴长，离心率，根据椭圆C₂以C₁的长轴为短轴，且与C₁有相同的离心率，即可确定椭圆C₂的方程；
（2）设A，B的坐标分别为（x_A，y_A），（x_B，y_B），根据

OB

=2

OA

，可设AB的方程为y=kx，分别与椭圆C₁和C₂联立，求出A，B的横坐标，利用

OB

=2

OA

，即可求得直线AB的方程．

解答：解：（1）椭圆C1：

x2

4

+y2=1的长轴长为4，离心率为e=

c

a

=

3

2

∵椭圆C₂以C₁的长轴为短轴，且与C₁有相同的离心率
∴椭圆C₂的焦点在y轴上，2b=4，为e=

c

a

=

3

2

∴b=2，a=4
∴椭圆C₂的方程为

y2

16

+

x2

4

=1；
（2）设A，B的坐标分别为（x_A，y_A），（x_B，y_B），
∵

OB

=2

OA

∴O，A，B三点共线，且点A，B不在y轴上
∴设AB的方程为y=kx
将y=kx代入

x2

4

+y2=1，消元可得（1+4k²）x²=4，∴xA2=

4

1+4k2

将y=kx代入

y2

16

+

x2

4

=1，消元可得（4+k²）x²=16，∴xB2=

16

4+k2

∵

OB

=2

OA

，∴xB2=4xA2，
∴

16

4+k2

= 

16

1+4k2

，解得k=±1，
∴AB的方程为y=±x

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是掌握椭圆几何量关系，联立方程组求解．