Question

如图，半径为R的半球O的底面圆O在平面α内，过点O作平面α的垂线交半球面于点A，过圆O的直径CD作平面α成45°角的平面与半球面相交，所得交线上到平面α的距离最大的点为B，该交线上的一点P满足∠BOP=60°，则A、P两点间的球面距离为（ ）

A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：由题意求出AP的距离，然后求出∠AOP，即可求解A、P两点间的球面距离．
解答：解：半径为R的半球O的底面圆O在平面α内，过点O作平面α的垂线交半球面于点A，过圆O的直径CD作平面α成45°角的平面与半球面相交，所得交线上到平面α的距离最大的点为B，所以CD⊥平面AOB，
因为∠BOP=60°，所以△OPB为正三角形，P到BO的距离为PE=，E为BQ的中点，AE==，
AP==，
AP²=OP²+OA²-2OP•OAcos∠AOP，，
cos∠AOP=，∠AOP=arccos，
A、P两点间的球面距离为，
故选A．
点评：本题考查反三角函数的运用，球面距离及相关计算，考查计算能力以及空间想象能力．