Question

如图，半径为R的半球内有一内接正六棱锥P-ABCDEF，则直线PA与平面BPE所成角正弦值是

 

．

Answer 1

分析：设点P在平面ABCDEF内的射影为点O，过点A作BE的垂线，垂足为Q，连接PQ，则∠APQ为直线PA与平面BPE所成角，在直角三角形APQ中求解此角即可．

解答：解：如图
设点P在平面ABCDEF内的射影为点O，过点A作BE的垂线，垂足为Q，连接PQ
∵AQ⊥QE，而PO⊥AQ，PO∩QE=Q
∴AQ⊥面BPE
∴∠APQ为直线PA与平面BPE所成角
在Rt△APQ中，AP=

2

R，AQ=

3 R

2

∴sin∠APQ=

3 R 2

2 R

=

6

4

，
故答案为

6

4

点评：本题主要考查了直线与平面的所成角，以及解三角形等知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．