Question

18．如图所示，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，底面边长为a，E是PC的中点．
（1）求证：PA∥面BDE；
（2）求证：平面PAC⊥平面BDE．

Answer 1

分析 （1）连接OE，由中位线定理可知PA∥OE，故而PA∥面BDE；
（2）由BD⊥OP，BD⊥AC得出BD⊥平面PAC，从而得出平面PAC⊥平面BDE．

解答 证明：（1）连接OE，
∵ABCD是正方形，O是正方形的中心，
∴O是AC的中点，又E是PC的中点，
∴OE∥PA，
又PA?平面BDE，OE?平面BDE，
∴PA∥面BDE．
（2）∵PO⊥底面ABCD，BD?平面ABCD，
∴PO⊥BD，
∵ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
又PO?平面PAC，AC?平面PAC，PO∩AC=O，
∴BD⊥平面PAC，
又BD?平面BDE，
∴平面PAC⊥平面BDE．

点评 本题考查了线面平行，线面垂直的判定，面面垂直的判定，属于基础题．