题目内容

已知点F₁（-4，0），F₂（4，0），又P（x，y）是曲线 $数学公式$ 上的点，则

A.
|PF₁|+|PF₂|=10
B.
|PF₁|+|PF₂|＜10
C.
|PF₁|+|PF₂|≤10
D.
|PF₁|+|PF₂|≥10

D
分析：法一：根据方程 $\text{[math]}$ ，可以联想椭圆 $\text{[math]}$ ，根据椭圆的定义可知， $\text{[math]}$ 是以点F₁（-4.0），F₂（4，0）为焦点的椭圆，在椭圆上任意取点，可以证明点在曲线 $\text{[math]}$ 的内部或在曲线上，即椭圆上的点在封闭曲线的内部或曲线上，故可得结论．
法二：任取点P（x，y）在曲线 $\text{[math]}$ 上，可令 $\text{[math]}$ ，A∈[0， $\text{[math]}$ ]，易证得sinA+cosA≥1，即 $\text{[math]}$ 由此知点P（x，y）在 $\text{[math]}$ 上可其外部，再由椭圆的定义易选出正确选项
解答：根据方程 $\text{[math]}$ ，可以联想椭圆 $\text{[math]}$ ，
在椭圆 $\text{[math]}$ 上取点Q（5cosα，3sinα），即x=5cosα，y=3sinα
则 $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$
∵0≤sin²α≤1，
∴ $\text{[math]}$
即点Q在曲线 $\text{[math]}$ 的内部或在曲线上
所以椭圆 $\text{[math]}$ 上的点在封闭曲线 $\text{[math]}$ 的内部或曲线上
由题意， $\text{[math]}$ 是以点F₁（-4.0），F₂（4，0）为焦点的椭圆
∴当P点恰好取在顶点上时，此时点P在椭圆上，故有|PF₁|+|PF₂|=10
点P不在曲线 $\text{[math]}$ 的顶点上时，必有点P在椭圆的外部，故|PF₁|+|PF₂|＞10
综上所述，|PF₁|+|PF₂|≥10
故选D．
法二：任取点P（x，y）在曲线 $\text{[math]}$ 上，可令 $\text{[math]}$ ，A∈[0， $\text{[math]}$ ]
则有sinA+cosA≥1，即 $\text{[math]}$ 由此知点P（x，y）在 $\text{[math]}$ 上可其外部，故有|PF₁|+|PF₂|≥10
故选D
点评：本题以曲线为载体，考查类比思想，考查椭圆的定义，考查学生分析解决问题的能力．