Question

关于x，y的方程组

y=x+b y= 1-x2

有解，则实数b的取值范围是（　　）

• A．-

  2

  ≤b≤

  2

• B．-1≤b≤

  2

• C．-1≤b≤1
• D．-

  2

  ≤b≤1

Answer 1

分析：方程组中y=

1-x2

表示x轴上方的半个单位圆，y=x+b表示一条直线，方程组有解即直线与半圆有交点，根据题意画出图形，找出直线与半圆相切和直线过（1，0）两种特殊情况，相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关于b的方程，求出方程的解得到b的值；过（1，0）时，把点坐标代入直线方程求出b的值，根据求出的b的值即可得到满足题意的b的范围．

解答：解：∵y=

1-x2

表示圆心为坐标原点，半径为1的半圆，
y=x+b表示一条直线，
∴方程组有解，即直线与半圆有交点，
根据题意画出图形如图所示：

当直线与半圆相切时，圆心（0，0）到直线y=x+b的距离d=r，
即

|b|

2

=1，解得b=

2

或b=-

2

（舍去），
当直线过（1，0）时，把（1，0）代入直线方程得：b=-1，
则满足题意的b的范围是-1≤b≤

2

．
故选B．

点评：此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有点到直线的距离公式，利用了数形结合及转化的思想，其中把方程组中的两方程分别看做半圆与直线，画出相应的图形，根据两函数图象有交点可得方程组有解来解决问题．