Question

11．现有一圆心角为$\frac{π}{2}$，半径为12cm的扇形铁皮（如图）．P，Q是弧AB上的动点且劣弧$\widehat{PQ}$的长为2πcm，过P，Q分别作与OA，OB平行或垂直的线，从扇形上裁剪出多边形OHPRQT，将该多边形面积表示为角α的函数，并求出其最大面积是多少？

Answer 1

分析 连接OQ，OP，则∠POQ=$\frac{π}{6}$，求出面积，利用三角函数知识求最值，即可得出结论．

解答 解：连接OQ，OP，则∠POQ=$\frac{π}{6}$．
设∠QOB=α，多边形OHPRQT的面积为S，则∠POB=α+$\frac{π}{6}$，α∈（0，$\frac{π}{3}$），
S=12sinα•12cosα+12sin（α+$\frac{π}{6}$）•12cos（α+$\frac{π}{6}$）-12sinα•12cos（α+$\frac{π}{6}$）=（72$\sqrt{3}$-72）sin（2α+$\frac{π}{6}$）+36，
α=$\frac{π}{6}$，即∠POA=∠QOB=$\frac{π}{6}$时，多边形OHPRQT的面积的最大值为72$\sqrt{3}$-36（cm²）．

点评 本题考查的知识点是在实际问题中建立三角函数模型，三角函数降幂公式及三角函数的最值，