Question

（2008•南汇区一模）定义矩阵方幂运算：设A是一个n×n的矩阵，定义

A1=A Ak+1=Ak•A(k∈N*)

．若A=

1 1 0 1

，
求（1）A²，A³；
（2）猜测Aⁿ（n∈N^*），并用数学归纳法证明．

Answer 1

分析：（1）二阶矩阵的知法法则：

a b c d

 •

x y z w

 =

ax+bz ay+bw cx+dz cy+dw

，按照这个法则，就不难算出A²，A³的值了；
（2）根据计算出的n=1、2、3的Aⁿ的形式，先假设An=

1 n 0 1

(n∈N*)，再根据数学归纳的法则进行证明：①n=1时，等式显然成立；②假设n=k时等式成立，通过矩阵乘法法则，可推导出当n=k+1时，等式也成立．由此可得原等式对任意正整数都成立．

解答：解：（1）A2=

1 1 0 1

)2=

1 2 0 1

…（2分），
A3=

1 3 0 1

…（4分）
（2）证明：猜测An=

1 n 0 1

(n∈N*)…（6分）
1°n=2时，由（1）知显然成立
2°假设n=k时，Ak=

1 k 0 1

(k∈N*)成立
则当n=k+1时，有定义得Ak+1=Ak•A=

1 k 0 1

1 1 0 1

=

1 k+1 0 1

∴Ak+1=

1 k+1 0 1

也成立．
由1°、2°可知，对任意n∈N^*，An=

1 n 0 1

均成立．  …（15分）

点评：本题以二阶行列式为载体，考查了数学归纳法的一般步骤，属于中档题．牢记二阶矩阵的乘法法则，并能准确运用，是解决本题的关键．