Question

【题目】如图,在四棱锥中,底面为菱形,平面平面, ,点在棱上.

（Ⅰ）求证:直线平面;

（Ⅱ）若平面,求证: ;

（Ⅲ）是否存在点,使得四面体的体积等于四面体的?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ） .

【解析】试题分析：

（Ⅰ）由题意结合面面垂直的性质定理可得平面， ，由菱形的性质可得，故平面；

（Ⅱ）设，由线面平行的性质定理可得，结合菱形的性质可知是的中位线故；

（Ⅲ）点在平面上的射影落在上,设为，结合三棱锥的体积公式和菱形的性质可得.

试题解析：

（Ⅰ）∵平面平面,平面平面,

∴平面

∴

∵底面是菱形

∴

∵, 平面

∴平面

（Ⅱ）设，∵平面, 平面,平面平面

∴

又∵底面是菱形, 是中点

∴是的中位线, 是中点

∴

（Ⅲ）存在点,使得四面体的体积等于四面体的,且

∵平面平面,点在上

∴点在平面上的射影落在上,设为

∵，结合，

∴, 是的三等分点

∴.