Question

在数列中，已知.

（1）求数列的通项公式；

（2）为数列的前项和，求；

（3）若总存在正自然数，使成立，求的取值范围.

Answer 1

解:（1）解法一：∵，

∴  ，

∴ 猜想 ，以下用数学归纳法证明（略）

解法二： ∵ , ∴, ∴ ,

又, ∴ 数列是以2为公比、以-2为首项的等比数列,

∴ ， ∴

（2）由（1）得:,∴

,  ∴ ,

令, 则,

两式相减得:

∴ , 即,∴=2.

   （3） ∵

令,则,

当时, ,

∴在单调递减,

∴ 单调递增, ∴ ,

∴ , ∴若总存在正自然数，使成立,则.

解法二：，令，

则，∴数列单调递减，∴数列单调递增，

又，

从而有  .

∴ 若总存在正自然数，使成立,则.