Question

某校组织的一次篮球定点投篮比赛，其中甲、乙、丙三人投篮命中率分别是

1

2

，a，a（0＜a＜1），三人各投一次，用ξ表示三人投篮命中的个数．
（1）求ξ的分布列及数学期望；
（2）在概率P（ξ=i）（i=0，1，2，3）中，若P（ξ=1）的值最大，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）易知ξ的可能取值为0，1，2，3．ξ的分布列符合二项分布，由此能求出ξ的分布列及数学期望；
（2）由P（ξ=1）的值最大，知P(ξ=1)-P(ξ=0)=

1

2

[(1-a2)-(1-a)2]=a(1-a)≥0，P(ξ=1)-P(ξ=2)=

1

2

[(1-a2)-(2a-a2)]=

1-2a

2

≥0，P(ξ=1)-P(ξ=3)=

1

2

[(1-a2)-a2]=

1-2a2

2

≥0，由此能求出a的取值范围．

解答：解：（1）ξ的可能取值为0，1，2，3；
P(ξ=0)=

C

0 1

(1-

1

2

)

C

0 2

(1-a)2=

1

2

(1-a)2，
P(ξ=1)=

C

1 1

•

1

2

C

0 2

(1-a)2+

C

0 1

(1-

1

2

)

C

1 2

a(1-a)=

1

2

(1-a2)，
P(ξ=2)=

C

1 1

•

1

2

C

1 2

a(1-a)+

C

0 1

(1-

1

2

)

C

2 2

a2=

1

2

(2a-a2)，
P(ξ=3)=

C

1 1

•

1

2

C

2 2

a2=

a2

2

．

ξ	0	1	2	3
P	1 2 (1-a)2	1 2 (1-a2)	1 2 (2a-a2)	a2 2

所以ξ的分布列为ξ的数学期望为Eξ=0×

1

2

(1-a)2+1×

1

2

(1-a2)+2×

1

2

(2a-a2)+3×

a2

2

=

4a+1

2

．
（2）∵P（ξ=1）的值最大
∴P(ξ=1)-P(ξ=0)=

1

2

[(1-a2)-(1-a)2]=a(1-a)≥0，P(ξ=1)-P(ξ=2)=

1

2

[(1-a2)-(2a-a2)]=

1-2a

2

≥0，P(ξ=1)-P(ξ=3)=

1

2

[(1-a2)-a2]=

1-2a2

2

≥0．
解得0＜a≤

1

2

，
又∵0＜a＜1，∴0＜a≤

1

2

，
当a的取值范围是(0，  

1

2

]时，P（ξ=1）的值最大．

点评：本题考查二项分布的性质和应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地运用二项分布的性质解题．